Calcul scientifique, méthodes numériques

Calcul scientifique, méthodes numériques

Version
2023-2024 Semestre 2
Auteurs

Camilla Fiorini

Charge de travail
120h00
Modalités

Spatiales : Distanciel

Temporelles : Asynchrone

Compétences

Approcher certains phénomènes physiques sans solutions analytiques, rencontrés couramment en bureau d'étude.

Objectifs

A la fin de ce cours, vous serez capable de : 

  1. Discriminer parmi les méthodes numériques vues en cours, celle adaptée à un système d'équations aux dérivées partielles donné;

  2. Implémenter la méthodes numérique retenue pour un système d'équations aux dérivées partielles donné;

  3. Interpréter le résultat de la simulation numérique d'un système d'équations aux dérivées partielles donné. 

Prérequis

Niveau intermédiaire en programmation Python et C++ (UE UTC101 ou équivalent) ;  

Mathématiques : calcul différentiel/intégrale et algèbre linéaire matricielle ( UE CSC104 ; CSC106 ou équivalent);

Ce conducteur détaille l'organisation du cours tout au long du semestre et donne une indication du temps de travail estimé pour effectuer les différentes activités qui vous guideront vers la réussite.

Vous retrouverez dans votre salle de cours en ligne les mêmes intitulés de séquences et de séances que dans le présent document, et c'est là que vous trouverez les ressources à étudier et les activités à effectuer.

Ce cours est entièrement à distance et vous êtes libre d'organiser votre temps. Je vous conseille de ne pas prendre de retard et de prévoir des plages de temps hebdomadaires pour travailler ce cours. Vous avez la possibilité, via le forum de vous entraider. Je participerai à vos échanges pour clarifier d'éventuelles incompréhensions ou répondre aux questions qui me seront posées. Je vous invite également à utiliser Teams entre vous pour par exemple vous fixer des rendez-vous de travail, par exemple.

Le projet

Détails

Éléments d'évaluation

Le projet + l'examen final (répartition des points)

Fondamentaux des méthodes numériques

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Méthodes numériques : consistance, stabilité et convergence

Méthodes des différences finies appliquées à la chaleur

Objectifs

Pour un système d'équations aux dérivés partielles linéaires, à la fin de cette séquence, vous serez capable : 

  • De discerner la spécificité de chaque méthode des différences finies;

  • D'implémenter différentes méthodes des différences finies;

  • D'optimiser le code avec le calcul matriciel en utilisant la bibliothéque NumPy de l'IDE Python;

Équation de la chaleur dans un espace 1D

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable d'implémenter :

  1. La méthodes numérique des différences finies centrées en espace ; 

  2. La méthodes numérique d'Euler explicite en temps;

  3. Le ϑ-schéma en temps;

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP différences finies 1D ;

Équation de la chaleur dans un espace 2D

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable d'implémenter :

  1. La méthodes numérique des différences finies centrées en espace ; 

  2. Le ϑ-schéma en temps;

  3. La méthode de Runge-Kutta à 2 étapes;

  4. La méthode d'Adams-Bashforth à 2 pas.

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP différences finies 2D ;

Méthodes des différences finies appliquées aux lois de conservation

Objectifs

Pour un système d'équations aux dérivés partielles linéaires, à la fin de cette séquence, vous serez capable : 

  • D'appliquer la méthode de Godounov à différents cas test ;

  • D'implémenter la méthode des volumes finies d'ordre 1 et 2 ;

Introduction à la méthode de Godounov

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable :

  • D'identifier les cas tests pour lesquels s'appliquent la méthode des caractéristiques ;

  • D'examiner les limites de la méthode des caractéristiques ;

  • De résoudre un problème de Riemann avec la méthode des caractéristiques ;

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP ;

La méthode de Godounov

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable d'implémenter :

  1. La méthodes numérique des différences finies centrées en espace ; 

  2. Le ϑ-schéma en temps;

  3. La méthode de Runge-Kutta à 2 étapes;

  4. La méthode d'Adams-Bashforth à 2 pas.

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP différences finies 2D ;

La méthode numérique MUSCL ou les volumes finis d'ordre élevé

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable d'implémenter la méthode Muscl dans le cadre de la méthode de Godounov.

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP différences finies 2D ;

Les solveurs de Riemann approchés appliqués à un système de lois de conservation 

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable d'implémenter  la méthode de Godounov avec un solveur de Riemann approché donné; 

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP différences finies 2D ;

Cas d'application de la méthode des éléments finis

Objectifs

A la fin de cette séquence, vous serez capable : 

  • D'écrire mathématiquement la formulation faible d'un système d'équations aux dérivées partielles;

  • D'appliquer la méthode de Galerkin pour discrétiser différents systèmes d'équations ;

  • D'tiliser le logiciel freeFEM++ pour simuler, par la méthode des éléments finis, des systèmes d'équation multidimensionnels;

Éléments finis 1D

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable :

  • D'écrire la formulation faible d'une équation 1D;

  • D'appliquer la méthode de Galerkin ;

  • D'implémenter la méthode des éléments finis d'une équation 1D;

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP ;

Éléments finis 2D

Objectifs

A la fin de cette séance, vous serez capable :

  • D'écrire la formulation faible d'une équation 1D;

  • D'appliquer la méthode de Galerkin ;

  • D'implémenter la méthode des éléments finis d'une équation 1D;

Rendez-vous dans la séance du même nom de votre salle de cours :

  • Étudiez le cours ;

  • Faites le TP ;